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已知长圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.触动下垂线

2018-09-30 06:57 [博狗备用网址] 来源于:未知
导读:剖析 (1)下垂线OB的方程为:y=$\frac{3}{2}$x,即3x-2y=0,设经度过点C且壹致于下垂线OB的下垂线l′方程为:y=$\frac{3}{2}$x+b.则当l′与长圆条要壹个公共点时,△OBC的面积最父亲.此雕刻

  剖析 (1)下垂线OB的方程为:y=$\frac{3}{2}$x,即3x-2y=0,设经度过点C且壹致于下垂线OB的下垂线l′方程为:y=$\frac{3}{2}$x+b.则当l′与长圆条要壹个公共点时,△OBC的面积最父亲.此雕刻下垂线与长圆相切.

  (2)下垂线l与y轴不铅直,设下垂线l的方程为:x=my+n,与长圆方程联立募化为:(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0,

  使用根与系数的相干及其3y1+y2=0,却得n2=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$.则S△OBC=$\frac{1}{2}|n|$?|y1-y2|=2|n||y1|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$.进而得出产定论.

  松恢复 松:(1)下垂线OB的方程为:y=$\frac{3}{2}$x,即3x-2y=0,设经度过点C且壹致于下垂线OB的下垂线l′方程为:y=$\frac{3}{2}$x+b.

  则当l′与长圆条要壹个公共点时,△OBC的面积最父亲.联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{3}{2}x+b}\end{array}\right.$,募化为:3x2+3bx+b2-3=0,

  由△=9b2-12(b2-3)=0,松得b=$±2\sqrt{3}$.当b=2$\sqrt{3}$时,C$(-\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2})$;当b=-2$\sqrt{3}$时,C$(\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

  S△OBC≤$\frac{1}{2}×\sqrt{1+\frac{9}{4}}$×$\frac{|3\sqrt{3}+\sqrt{3}|}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{3}$.

  (2)下垂线l与y轴不铅直,设下垂线l的方程为:x=my+n,联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,募化为:(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0,

  ∴y1+y2=$\frac{-6mn}{3{m}^{2}+4}$,y1?y2=$\frac{3{n}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$.∵3y1+y2=0,∴y1=$\frac{3nm}{3{m}^{2}+4}$,${y}_{1}^{2}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$,∴$\frac{9{m}^{2}{n}^{2}}{(3{m}^{2}+4)^{2}}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$,∴n2=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$.

  ∴S△OBC=$\frac{1}{2}|n|$?|y1-y2|=2|n||y1|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$.

  ∵B在第壹象限,∴x1=my1+n=$\frac{3{m}^{2}n}{3{m}^{2}+4}$+n>0,∴n>0.

  ∵y1>0,∴m>0.

  ∴S△OBC=$\frac{6m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{6}{3m+\frac{1}{m}}$$≤\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$,当且但当m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号.此雕刻n=$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

  此雕刻下垂线l的方程为:x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+$\frac{\sqrt{10}}{2}$,即2$\sqrt{3}$x-2y-$\sqrt{30}$=0.

  点评 本题考查了长圆的规范方程及其习惯、下垂线与长圆相提交弦长效实、下垂线与长圆相切效实、叁角形面积计算公式、根本不一式的习惯,考查了铰理才干与计算才干,属于难题.

(编辑:admin)

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